Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，OA=3，OC=4，P為直線AB上一動點，將直線OP繞點P逆時針方向旋轉90°交直線BC于點Q；
（1）當點P在線段AB上運動（不與A，B重合）時，求證：OA•BQ=AP•BP；
（2）在（1）成立的條件下，設點P的橫坐標為m，線段CQ的長度為l，求出l關于m的函數解析式，并判斷l是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）由第一問可求得BQ的值，從而求得l=3-

4m-m2

3

，所以可得到當m=2時，l有最小值求出即可．

解答：（1）證明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
又∵∠OAB=∠PBQ=90°，
∴△OAP∽△PBQ，
則

AP

OA

=

BQ

BP

，
即OA•BQ=AP•BP．

（2）解：∵OA•BQ=AP•BP，
即BQ=

m(4-m)

3

，
∴l=3-

4m-m2

3

，
=

1

3

（m²-4m+4）+

5

3

，
=

1

3

（m-2）²+

5

3

，
∴當m=2時，l有最小值

5

3

．

點評：此題考查了等腰三角形的性質、相似三角形的判定、矩形的性質及二次函數等知識點的綜合運用，根據已知得出△OAP∽△PBQ是解題關鍵．