Question

【題目】在中，，，，圓在內自由移動.若的半徑為1，則圓心在內所能到達的區域的面積為______.

Answer 1

【答案】24

【解析】

根據題意做圖，圓心在內所能到達的區域為△EFG，先求出AB的長，延長BE交AC于H點，作HM⊥AB于M，根據圓的性質可知BH平分∠ABC，故CH=HM,設CH=x=HM，根據Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K點，利用△BEK∽△BHC，求出BK的長，即可求出EF的長，再根據△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面積.

如圖，由題意點O所能到達的區域是△EFG，連接BE，延長BE交AC于H點，作HM⊥AB于M，EK⊥BC于K，作FJ⊥BC于J．

∵，，，

∴AB=

根據圓的性質可知BH平分∠ABC

∴故CH=HM,設CH=x=HM，則AH=12-x，BM=BC=9,

∴AM=15-9=6

在Rt△AMH中，AH2=HM2+AM2

即AH2=HM2+AM2

（12-x）2=x2+62

解得x=4.5

∵EK∥AC，

∴△BEK∽△BHC，

∴，即

∴BK=2，

∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，

∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，

∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，

∴△EFG∽△ACB，

故,即

解得FG=8

∴圓心在內所能到達的區域的面積為FG×EF=×8×6=24,

故答案為24.