Question

【題目】綜合與實踐:

問題情境:在一次綜合實踐活動課上,同學們以菱形為對象,研究菱形旋轉中的問題:已知,在菱形中, 為對角線, ,,將菱形繞頂點順時針旋轉,旋轉角為(單位),旋轉后的菱形為,在旋轉探究活動中提出下列問題,請你幫他們解決.

觀察證明:

(1)如圖1,若旋轉角,與相交于點,與相交于點,請說明線段與的數量關系;

操作計算:

(2)如圖2,連接,菱形旋轉的過程中,當與互相垂直時, 的長為 ;

(3)如圖3,若旋轉角,分別連接,,過點分別作,,連接,菱形旋轉的過程中,發現在中存在長度不變的線段,請求出長度;

操作探究:

(4)如圖4,在(3)的條件下,請判斷以,,三條線段長度為邊的三角形是什么特殊三角形,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），理由詳見解析；（2）；（3）2；（4）以,,三條線段為邊的三角形是直角三角形,理由詳見解析.

【解析】

(1)根據菱形的性質以及旋轉的性質，證得，根(證得≌，可以得到結論；

(2)根據菱形的性質以及條件與互相垂直，證明、在同一直線上，利用銳角三角函數求得對角線的長，繼而求得結論；

(3)利用等腰三角形三線合一的性質，是的中位線，從而證明；

(4) 以為邊向外作等邊三角形，利用等邊三角形的性質以及證得≌，得到，把,,三條線段歸結到一個三角形中，易證得是直角三角形，從而得到結論.

(1) ,理由如下:

∵四邊形是菱形

∴

∴

由旋轉的性質可得: ,,,

∴

∴

即

在和中

∴≌()

∴

(2) 菱形中, , ,

∴平分 (等腰三角形三線合一),

∴,

∵,

∴

∴、在同一直線上，

如圖，菱形中, 為對角線, ,,

∴,

∴

∴

∴

故答案是：

(3)如圖,連接,由題可得:

∵

∴(等腰三角形三線合一),同理

∴是的中位線

∴

∵四邊形是菱形

∴

又∵ ,是等邊三角形

∴

∴

(4)以,,三條線段為邊的三角形是直角三角形,理由如下:

如圖,以為邊向外作等邊三角形,連接,

∵四邊形是菱形,

∴與是等邊三角形,

由(3)可知: 與都是等腰三角形

∴

∵與是等邊三角形

∴,,

∴

∴

在和中

∴≌()

∴,

∴

∴是直角三角形

即以,,三條線段長度為邊的三角形是直角三角形.