Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A(1，0)、B(﹣3，0)兩點，與y軸交于點C，設拋物線的頂點為D．

(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．

(2)試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

(3)若點E在x軸上，點Q在拋物線上．是否存在以B、C、E、Q為頂點且以BC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

(4)探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點D的坐標為(﹣1，4)；(2) △BCD是直角三角形，理由見解析；(3) Q點的坐標為(﹣2，3)或(﹣1，﹣3)或(﹣﹣1，﹣3)； (4) 符合條件的點P的坐標為：(0，0)或(0，﹣)或(﹣9，0)．

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據勾股定理的逆定理即可作出判斷；

（3）當B、C、E、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，有兩種情況：①當Q點的縱坐標為3時，②當點Q的縱坐標﹣3時，代入解析式即可求得；

（4）分P在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

(1)拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A(1，0)、B(﹣3，0)兩點，

∴，

解得a＝﹣1，b＝﹣2，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，

∴頂點D的坐標為(﹣1，4)；

(2)△BCD是直角三角形．

理由如下：如圖1，過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，

∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，

∴BC2＝OB2+OC2＝18，

在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，

∴CD2＝DF2+CF2＝2，

在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，

∴BD2＝DE2+BE2＝20，

∴BC2+CD2＝BD2

∴△BCD為直角三角形；

(3)①當Q點的縱坐標為3時，

∴把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝0或﹣2，

∴Q1(﹣2，3)；

②當Q點的縱坐標為﹣3時，

把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝﹣1或﹣﹣1，

∴Q2(﹣1，﹣3)，Q3(﹣﹣1，﹣3)，

綜上，Q點的坐標為(﹣2，3)或(﹣1，﹣3)或(﹣﹣1，﹣3)．

(4)由(2)知BC＝3，CD＝，BD＝2，

①∵，，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC；

②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，

設P的坐標是(0，a)，則PC＝3﹣a，，即，

解得：a＝﹣9，

則P的坐標是(0，﹣9)，三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；

③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，

設P的坐標是(0，b)，則PC＝3﹣b，則，即，

解得：b＝﹣，

故P是(0，﹣)時，則△ACP∽△CBD一定成立；

④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是(d，0)，

則AP＝1﹣d，當AC與CD是對應邊時，，即，

解得：d＝1﹣3，此時，兩個三角形不相似；

⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是(e，0)．

則AP＝1﹣e，當AC與DC是對應邊時，，即，

解得：e＝﹣9，符合條件．

綜上，符合條件的點P的坐標為：(0，0)或(0，﹣)或(﹣9，0)．