Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的對稱軸為x＝－1，與x軸的一個交點為(2，0)．若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整數根，則p的值有（ ）

A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據題意可知一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的根應為整數，通過拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點為（2，0）．可以畫出大致圖象判斷出直線y=p（0＜p≤-9a），觀察圖象當0＜y≤-9a時，拋物線始終與x軸相交于（-4，0）于（2，0）．故自變量x的取值范圍為-4＜x＜2．所以x可以取得整數-3，-2，-1，0，1，共5個．由于x=-3與x=1，x=-2與x=0關于對稱軸直線x=-1對稱，所以x=-3與x=1時對應一條平行于x軸的直線，x=-2與x=0時對應一條平行于x軸的直線，x=-1時對應一條平行于x軸且過拋物線頂點的直線，從而確定y=p時，p的值應有3個．

解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為x=-1，

∴=-1，解得b=2a．

又∵拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸的一個交點為（2，0）．

把（2，0）代入y=ax2+bx+c得，0=4a+4a+c，

解得，c=-8a．

∴y=ax2+2ax-8a（a＜0），

對稱軸h=-1，最大值k==-9a．如圖所示，

頂點坐標為（-1，-9a），

令ax2+2ax-8a=0，

即x+2x-8=0，

解得x=-4或x=2，

∴當a＜0時，拋物線始終與x軸交于（-4，0）與（2，0）．

∴ax2+bx+c=p

即常函數直線y=p，由p＞0，

∴0＜y≤-9a，

由圖象得當0＜y≤-9a時，-4＜x＜2，其中x為整數時，x=-3，-2，-1，0，1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的整數解有5個．

又∵x=-3與x=1，x=-2與x=0關于直線x=-1軸對稱，

當x=-1時，直線y=p恰好過拋物線頂點．

所以p值可以有3個．

故選：B．