Question

【題目】如圖，BD是ABCD的對角線，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，動點P從點D出發，以5cm/s的速度沿DA運動到終點A，同時動點Q從點B出發，沿折線BD-DC運動到終點C，在BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運動．過點Q作QM⊥AB，交射線AB于點M，連接PQ，以PQ與QM為邊作□PQMN．設點P的運動時間為t（s）（t＞0），PQMN與ABCD重疊部分圖形的面積為S（cm2）．

（1）AP= cm（用含t的代數式表示）．

（2）當點N落在邊AB上時，求t的值．

（3）求S與t之間的函數關系式．

（4）連結NQ，當NQ與△ABD的一邊平行時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）10-5t；（2）t= ；（3）見解析；（4）秒或秒或2秒．

【解析】

（1）先表示PD=t，可得AP=10-5t；

（2）如圖1，點N落在邊AB上，則AP=10-2t，PN=BQ=8t，證明△APN∽△ADB，列比例式得方程，可得t的值；

（3）分三種情況

①當0＜t≤時，如圖2，過點P作PE⊥BD于點E，PQMN與ABCD重疊部分圖形是PQMN，

②當＜t≤1時，如圖3，PQMN與ABCD重疊部分圖形是四邊形PQMG，

③當1＜t≤2時，如圖4，PQMN與ABCD重疊部分圖形是五邊形PQHBG，

根據三角形和四邊形面積和與差可得結論；

（4）分三種情況：①當NQ∥AD時，如圖5，根據DQ=BQ=4=8t，得結論；

②當NQ∥AB時，如圖6，根據PN=BQ=8t，列方程為：8t+8t=8-4t，得結論；

③如圖7，當Q與C重合，P與A重合時，t=2．

（1）由題意得：PD=t，

∵AD=10，

∴AP=10-5t，

故答案為：（10-5t）；

（2）如圖1，點N落在邊AB上，則AP=10-2t，PN=BQ=8t，

∵PN∥BD，

∴△APN∽△ADB，

∴，

∴，

(105t)＝8t，

∴t＝.

（3）分三種情況：

①當0＜t≤時，如圖2，過點P作PE⊥BD于點E，PQMN與ABCD重疊部分圖形是PQMN，

則PE=3t．

S=BQBE=3t8t=24t2；

②當＜t≤1時，如圖3，PQMN與ABCD重疊部分圖形是四邊形PQMG，則BG=3t，

，

，

∴；

③當1＜t≤2時，如圖4，PQMN與ABCD重疊部分圖形是五邊形PQHBG，

則PG=（10-5t）=8-4t，MQ=8，MG=BG+MB=6（t-1）+3t=9t-6，

，

∴，

∴S=S梯形PQMG-S△HBM=（PG+QM）MG-BMHM，

=（9t-6）[8-4t+8]- （6t-6）（8t-8），

=-42t2+132t-72；

（4）①當NQ∥AD時，如圖5，

∴∠DPQ=∠PQN=∠QNB，

∵PQ=BN，∠PQD=∠NBQ，

∴△DPQ≌△QNB，

∴DQ=BQ=×8=4，

即8t=4，t=；

②當NQ∥AB時，如圖6，延長PN交AB于G，則PG⊥AB，則PG=8-4t，

∵PN=BQ=8t，

∴8t+8t=8-4t，t=，

③如圖7，當Q與C重合，P與A重合時，t=2，

此時，CM=AN=8，B是AM的中點，

NC在直線BC上，

∴NQ∥AD，

綜上所述，t的值為秒或秒或2秒．