Question

【題目】如圖，在Rt△ABC的頂點A、B在x軸上，點C在y軸上正半軸上，且

A(－1，0)，B(4，0)，∠ACB＝90°.

(1)求過A、B、C三點的拋物線解析式；

(2)設拋物線的對稱軸l與BC邊交于點D，若P是對稱軸l上的點，且滿足以P、C、D為頂點的三角形與△AOC相似，求P點的坐標；

(3)在對稱軸l和拋物線上是否分別存在點M、N，使得以A、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出點M、點N的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1 備用圖

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：(1)根據求出點的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式.

(2)分兩種情況進行討論即可.

(3)存在. 假設直線l上存在點M，拋物線上存在點N，使得以A、O、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.分當平行四邊形是平行四邊形時，當平行四邊形AONM是平行四邊形時，當四邊形AMON為平行四邊形時，三種情況進行討論.

詳解：(1)易證，得，

∴OC=2，∴C(0，2),

∵拋物線過點A(-1，0)，B(4，0)

因此可設拋物線的解析式為

將C點(0，2)代入得:，即

∴拋物線的解析式為

(2)如圖2，

當時，則P1(，2),

當 時，

∴OC∥l,

∴，

∴P2H＝·OC＝5，

∴P2 (，5)

因此P點的坐標為(，2)或(，5).

(3)存在.

假設直線l上存在點M，拋物線上存在點N，使得以A、O、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形.

如圖3，

當平行四邊形是平行四邊形時，M(，)，(,),

當平行四邊形AONM是平行四邊形時，M(，)，N(,),

如圖4，當四邊形AMON為平行四邊形時，MN與OA互相平分，此時可設M(，m)，則

∵點N在拋物線上，

∴-m＝-·(-+1)( --4)=-,

∴m=,

此時M(，)， N(-,-).

綜上所述，M(，)，N(,)或M(，)，N(,) 或 M(，)， N(-,-).