Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥AB于點D、交⊙O于點E，∠C=60°， 如
果⊙O的半徑為2，那么OD=        ．

Answer 1

1

連接OA、OB．構造與圓周角∠AOC同弧的圓心角∠AOB、直角三角形AOD．利用圓周角定理（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）求得∠AOB=2∠C=120°；然后根據垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧）求得AD=BD，即OD是等腰三角形的底邊AB上的高，然后在直角三角形AOD中由30°所對的直角邊是斜邊的一半，解得OD的值．

解：連接OA、OB．
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
∵OD⊥AB，
∴AD=BD（垂徑定理）；
又∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°；
在直角三角形AOD中，OD=OA（30°所對的直角邊是斜邊的一半），
∵⊙O的半徑為2，
∴OA=2，
∴OD=1．
故答案為：1．
本題綜合考查了垂徑定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形．解題時，通過添加輔助線OA、OB，將條件中隱含的圓周角定理充分揭示出來，以便取得過渡性的推論，達到推導出結論的目的．