Question

【題目】如圖1，在中，，，，以為直徑的半圓按如圖所示位置擺放，點與點重合，點在邊的中點處，點從現在的位置出發沿方向以每秒2個單位長度的速度運動，點隨之沿下滑，并帶動半圓在平面內滑動，設運動時間為秒（），點運動到點處停止，點為半圓中點．

（1）如圖2，當點與點重合時，連接交邊于，則為____________；

（2）如圖3，當半圓的圓心落在了的斜邊的中線時，求此時的，并求出此時的面積；

（3）在整個運動的過程中，當半圓與邊有兩個公共點時，求出的取值范圍；

（4）請直接寫出在整個運動過程中點的運動路徑長．

Answer 1

【答案】（1）0.5；（2）；；（3）當或時圓與邊有兩個交點；（4）

【解析】

（1）首先根據中點求出AN的長度，進而求出圓的半徑，然后利用得到，可得出OE的長度，最后利用即可求解；

（2）首先利用等腰三角形的性質和直角三角形斜邊中線的性質推出，進而有，則，從而求出t的值和CM,CN的長度，最后利用三角形面積公式求解即可；

（3）分兩種情況：當MN在AC邊上與圓相切時和當MN在BC邊上與圓相切時，分別求出這兩種臨界狀況，然后數形結合即可得出答案；

（4）分析出P點的運動軌跡，然后分三段分別進行討論即可．

解：（1）∵N為AC中點，

∴ ，

．

∵點為半圓中點,

，

，

，

即 ，

解得 ，

；

（2） ，

．

如圖，當圓心落在斜邊中線時:

∵，

∴點在圓上，

∴，

∴．

設為中點，則，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

即，

解得,，

∴，

∴；

（3）如圖，

當圓與邊相切于點，連接，

∴．

∵，

∴，

∴，

即，

解得，

∴；

如圖，

當圓與邊相切于點，連接，

∴．

∵，

∴，

∴，

即，

解得，

∴，

綜上，當或時圓與邊有兩個交點；

（4）當N點開始運動到N點與點C重合時，P點運動的路程為；

當點N與點C重合時，如圖，

，

，

．

當圓運動到如圖所示時，此時，

∵，O為MN中點，

∴ ，

，

∴當N點從C運動到如圖所示時，P點始終在的角平分線上運動，

∴當N點從C運動到如圖所示時，P點的運動路徑為，

∴當N點從C運動到M點與C點重合時，這段時間內P運動的路徑長為．

從M點與C點重合到N點與B重合，P運動的路程為 ，

∴整個過程中P點的運動路徑長為 ．