Question

【題目】如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若AB=6，AC=10，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵折疊，

∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，

∴∠ANF=90°，∠CME=90°，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴AM=CN，

∴AM﹣MN=CN﹣MN，

即AN=CM，

在△ANF和△CME中，

，

∴△ANF≌△CME（ASA），

∴AF=CE，

又∵AF∥CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）

解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，

設CE=x，則EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，

在Rt△CEM中，

（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，

∴四邊形AECF的面積的面積為：ECAB=5×6=30

【解析】（1）首先由矩形的性質和折疊的性質證得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四邊形的判定定理可得結論；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，設CE=x，則EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四邊形的面積公式可得結果．本題主要考查了折疊的性質、矩形的性質、平行四邊形的判定定理和勾股定理等，綜合運用各定理是解答此題的關鍵．