Question

【題目】如圖，在中，，是的外接圓，連結(jié)OA、OB、OC，延長BO與AC交于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)F，延長BA到點(diǎn)G，使得，連接FG.

備用圖

（1）求證：FG是的切線；

（2）若的半徑為4.

①當(dāng)，求AD的長度；

②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解析】

（1）連接AF，由圓周角定理的推論可知，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理的推論可證，，從而可得，然后根據(jù)切線的判定方法解答即可；

（2）①連接CF，根據(jù)“SSS”證明，由全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證，由平行線分線段成比例定理可證，可求，然后由相交弦定理求解即可；

②分兩種情況求解即可，（i）當(dāng)時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí).

（1）連接AF，

∵BF為的直徑，

∴，，

∴，

∵，∴，

∵，，

∴，

∴，即.

又∵OF為半徑，

∴FG是的切線.

（2）①連接CF，

則，

∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

∵半徑是4，，∴，，

∴，即，

又由相交弦定理可得：，

∴，即，

∴（舍負(fù)）；

（2）②∵為直角三角形，不可能等于.

∴（i）當(dāng)時(shí)，則，

由于，∴，，

∴，

∴，，

∴；

（ii）當(dāng)時(shí)，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，

延長AO交BC于點(diǎn)M，

∵AB=AC，

∴弧AB=弧AC，

∴，

∴，

∴，

∴.