Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延長線于點E，點F在AB上，且EF∥AC．求證：點F是AB的中點．

Answer 1

【答案】詳見解析．

【解析】

由AD為角平分線可得再由∠BAE=∠CAE，由EF∥AC，根據兩直線平行內錯角相等可得∠AEF=∠CAE，所以∠AEF=∠BAE，根據等角對等邊即可得AF=EF．又因∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，∠AEF=∠BAE，利用等角的余角相等可得出∠BEF=∠ABE，根據等角對等邊得到即可得BF=EF，所以AF=BF，即F為AB的中點．

證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∵EF∥AC，

∴∠AEF=∠CAE，

∴∠AEF=∠BAE，

∴AF=EF，

又∵BE⊥AD，

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，

又∠AEF=∠BAE，

∴∠ABE=∠BEF，

∴BF=EF，

∴AF=BF，

∴F為AB中點．