Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與軸交于點A，正方形ABCD的頂點B在軸上，點D在直線上，且AO=OB，反比例函數（）經過點C．

（1）求一次函數和反比例函數的解析式；

（2）點P是軸上一動點，當的周長最小時，求出P點的坐標；

（3）在（2）的條件下，以點C、D、P為頂點作平行四邊形，直接寫出第四個頂點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2，；（2）P（，0）；（3）M的坐標為（，2），（，6）或（，﹣2）．

【解析】

（1）設一次函數y=kx+2的圖象與x軸交于點E，連接BD，利用一次函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質以及等腰三角形的性質可得出點E的坐標，由點E的坐標利用待定系數法可求出一次函數解析式，由BD∥OA，OE=OB可求出BD的長，進而可得出點D的坐標，由正方形的性質可求出點C的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出反比例函數解析式；

（2）作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD'交x軸于點P，此時△PCD的周長取最小值，由點D的坐標可得出點D'的坐標，由點C，D'的坐標，利用待定系數法可求出直線CD'的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；

（3）設點M的坐標為（x，y），分DP為對角線、CD為對角線及CP為對角線三種情況，利用平行四邊形的性質（對角線互相平分）可求出點M的坐標，此題得解．

（1）設一次函數y=kx+2的圖象與x軸交于點E，連接BD，如圖1所示．

當x=0時，y=kx+2=2，∴OA=2．

∵四邊形ABCD為正方形，OA=OB，∴∠BAE=90°，∠OAB=∠OBA=45°，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴OE=OA=2，點E的坐標為（﹣2，0）．

將E（﹣2，0）代入y=kx+2，得：﹣2k+2=0，解得：k=1，∴一次函數的解析式為y=x+2．

∵∠OBD=∠ABD+∠OBA=90°，∴BD∥OA．

∵OE=OB=2，∴BD=2OA=4，∴點D的坐標為（2，4）．

∵四邊形ABCD為正方形，∴點C的坐標為（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．

∵反比例函數y（x＞0）經過點C，∴n=4×2=8，∴反比例函數解析式為y．

（2）作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD'交x軸于點P，此時△PCD的周長取最小值，如圖2所示．

∵點D的坐標為（2，4），∴點D'的坐標為（2，﹣4）．

設直線CD'的解析式為y=ax+b（a≠0），將C（4，2），D'（2，﹣4）代入y=ax+b，得：，解得：，∴直線CD'的解析式為y=3x﹣10．

當y=0時，3x﹣10=0，解得：x，∴當△PCD的周長最小時，P點的坐標為（，0）．

（3）設點M的坐標為（x，y），分三種情況考慮，如圖3所示．

①當DP為對角線時，，解得：，∴點M1的坐標為（，2）；

②當CD為對角線時，，解得：，∴點M2的坐標為（，6）；

③當CP為對角線時，，解得：，∴點M3的坐標為（，﹣2）．

綜上所述：以點C、D、P為頂點作平行四邊形，第四個頂點M的坐標為（，2），（，6）或（，﹣2）．