Question

【題目】如圖，已知是的直徑，過點作，交弦于點，交于點，且使.

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）PE= 4﹣2 ．

【解析】

（1）連接OC，由在計算的圓周角為直角可得∠ACB=90°，根據等腰三角形的性質及已知條件易得∠BCO=∠ACP，由此可得∠OCP=90°，即可證得PC是⊙O的切線；（2）在Rt△OCP中，求得OC=2 ，OP=4，由此即可求得PE的長.

（1）證明：連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCO+∠ACO=90°，

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO，

∵∠PCA=∠ABC，

∴∠BCO=∠ACP，

∴∠ACP+∠OCA=90°，

∴∠OCP=90°，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，
∴OC=2 ，OP=2PC=4，

∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2 ．