Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2+bx+（a≠0）經過點A（﹣1，0）和B（3，0）．

（1）求拋物線C1的解析式，并寫出其頂點C的坐標；
（2）如圖1，把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時得到拋物線C2 ， 此時點A，C分別平移到點D，E處．設點F在拋物線C1上且在x軸的下方，若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，求點F的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，設點M是線段BC上一動點，EN⊥EM交直線BF于點N，點P為線段MN的中點，當點M從點B向點C運動時：①tan∠ENM的值如何變化？請說明理由；②點M到達點C時，直接寫出點P經過的路線長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線C1：y=ax2+bx+（a≠0）經過點A（﹣1，0）和B（3，0），

∴解得，

∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+x+，

∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+2，

∴頂點C的坐標為（1，2）；

（2）

解：如圖1，作CH⊥x軸于H，

∵A（﹣1，0），C（1，2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直線AC的解析式為y=x+1，

∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y軸，

∵DE=AC=2，

∴EF=4，

設F（m，﹣m2+m+），則E（m，m+1），

∴（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，

解得m=±3，

∴F（﹣3，﹣6）；

（3）

解：①tan∠ENM的值為定值，不發生變化；

如圖2，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四邊形DFBC是矩形，

作EG⊥AC，交BF于G，

∴EG=BC=AC=2，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴=，

∵F（﹣3，﹣6），EF=4，

∴E（﹣3，﹣2），

∵C（1，2），

∴EC==4，

∴==2，

∴tan∠ENM==2；

∵tan∠ENM的值為定值，不發生變化；

②點P經過的路徑是線段P1P2，如圖3，

∵四邊形BCEG是矩形，GP2=CP2，

∴EP2=BP2，

∵△EGN∽△ECB，

∴=，

∵EC=4，EG=BC=2，

∴EB=2，

∴=，

∴EN=，

∵P1P2是△BEN的中位線，

∴P1P2=EN=；

∴點M到達點C時，點P經過的路線長為．

【解析】（1）根據待定系數法即可求得解析式，把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標；
（2）根據A、C的坐標求得直線AC的解析式為y=x+1，根據題意求得EF=4，求得EF∥y軸，設F（m，﹣m2+m+），則E（m，m+1），從而得出（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，解方程即可求得F的坐標；
（3）①先求得四邊形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根據△EGN∽△EMC，對應邊成比例即可求得tan∠ENM==2；
②根據勾股定理和三角形相似求得EN=，然后根據三角形中位線定理即可求得．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和確定一次函數的表達式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法．