Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是⊙O上的點，且OD∥BC，AC分別與BD、OD相交于點E、F．

（1）求證：點D為的中點；

（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的長；

（3）若⊙O的半徑為5，∠DOA＝80°，點P是線段AB上任意一點，試求出PC+PD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF=2；（3）5

【解析】

（1）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明OF⊥AC，然后根據垂徑定理得到點D為的中點；

（2）證明OF為△ACB的中位線得到OF＝BC＝3，然后計算OD﹣OF即可；

（3）作C點關于AB的對稱點C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，利用兩點之間線段最短得到此時PC+PD的值最小，再計算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如圖，然后根據等腰三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系求出DH，從而得到PC+PD的最小值．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠OFA＝90°，

∴OF⊥AC，

∴＝，

即點D為的中點；

（2）解：∵OF⊥AC，

∴AF＝CF，

而OA＝OB，

∴OF為△ACB的中位線，

∴OF＝BC＝3，

∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；

（3）解：作C點關于AB的對稱點C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，

∵PC＝PC′，

∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，

∴此時PC+PD的值最小，

∵＝，

∴∠COD＝∠AOD＝80°，

∴∠BOC＝20°，

∵點C和點C′關于AB對稱，

∴∠C′OB＝20°，

∴∠DOC′＝120°，

作OH⊥DC′于H，如圖，

則∠ODH＝30°，

則C′H＝DH，

在Rt△OHD中，OH＝OD＝，

∴DH＝OH＝，

∴DC′＝2DH＝5，

∴PC+PD的最小值為5．