Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點、、.拋物線的解析式為.

（1）如圖一，若拋物線經過，兩點，直接寫出點的坐標 ；拋物線的對稱軸為直線 ；

（2）如圖二：若拋物線經過、兩點，

①求拋物線的表達式.

②若點為線段上一動點，過點作交于點，過點作于點交拋物線于點.當線段最長時，求點的坐標；

（3）若，且拋物線與矩形沒有公共點，直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（4,8）；x=6；（2）①；②（6,4）；（3）或

【解析】

（1）根據矩形的性質即可求出點A的坐標，然后根據拋物線的對稱性，即可求出拋物線的對稱軸；

（2）①將A、C兩點的坐標代入解析式中，即可求出拋物線的表達式；

②先利用待定系數法求出直線AC的解析式，然后設點E的坐標為，根據坐標特征求出點G的坐標，即可求出EG的長，利用二次函數求最值即可；

（3）畫出圖象可知：當x=4時，若拋物線上的對應點位于點B的下方或當x=8時，拋物線上的對應點位于D點上方時，拋物線與矩形沒有公共點，將x=4和x=8分別代入解析式中，列出不等式，即可求出b的取值范圍．

解：（1）∵矩形的三個頂點、、

∴點A的橫坐標與點B的橫坐標相同，點A的縱坐標與點D的縱坐標相同

∴點A的坐標為：（4,8）

∵點A與點D的縱坐標相同，且A、D都在拋物線上

∴點A和點D關于拋物線的對稱軸對稱

∴拋物線的對稱軸為：直線．

故答案為：（4,8）；x=6；

（2）①將A、C兩點的坐標代入，得

解得：

故拋物線的表達式為；

②設直線AC的解析式為y=kx＋c

將A、C兩點的坐標代入，得

解得：

∴直線AC的解析式為

設點E的坐標為，

∵EG⊥AD，AD∥x軸

∴點E和點G的橫坐標相等

∵點G在拋物線上

∴點G的坐標為

∴EG=

=

=

∵

∴當時，EG有最大值，且最大值為2，

將代入E點坐標，可得，點E坐標為（6,4）．

（3）當時，拋物線的解析式為

如下圖所示，當x=4時，若拋物線上的對應點位于點B的下方或當x=8時，拋物線上的對應點位于D點上方時，拋物線與矩形沒有公共點，

故或

解得：或．