Question

【題目】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且點E，F分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．

（1）如圖1，當點G在CD上時，求證：△AEF≌△DFG；

（2）如圖2，若F是AD的中點，FG與CD相交于點N，連接EN，求證：EN＝AE+DN；

（3）如圖3，若AE＝AD，EG，FG分別交CD于點M，N，求證：MG2＝MNMD.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）先用同角的余角相等，判斷出∠AEF＝∠DFG，即可得出結論；

（2）先判斷出△AHF≌△DNF，得出AH＝DN，FH＝FN，進而判斷出EH＝EN，即可得出結論；

（3）先判斷出AF＝PG，PF＝AE，進而判斷出PG＝PD，得出∠MDG＝45°，進而得出∠FGE＝∠GDM，判斷出△MGN∽△MDG，即可得出結論．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，

∵∠EFG＝90°，

∴∠AFE+∠DFG＝90°，

∴∠AEF＝∠DFG，

∵EF＝FG，

∴△AEF≌△DFG（AAS）；

（2）如圖2，，

延長NF，EA相交于H，

∴∠AFH＝∠DFN，

由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°，

∴∠HAF＝∠D＝90°，

∵點F是AD的中點，

∴AF＝DF，

∴△AHF≌△DNF（ASA），

∴AH＝DN，FH＝FN，

∵∠EFN＝90°，

∴EH＝EN，

∵EH＝AE+AH＝AE+DN，

∴EN＝AE+DN；

（3）如圖3，

過點G作GP⊥AD交AD的延長線于P，

∴∠P＝90°，

同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS），

∴AF＝PG，PF＝AE，

∵AE＝AD，

∴PF＝AD，

∴AF＝PD，

∴PG＝PD，

∵∠P＝90°，

∴∠PDG＝45°，

∴∠MDG＝45°，

在Rt△EFG中，EF＝FG，

∴∠FGE＝45°，

∴∠FGE＝∠GDM，

∵∠GMN＝∠DMG，

∴△MGN∽△MDG，

∴，

MG2＝MNMD．