Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，點E在AC上，且∠ADE=∠B．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S△ABC =40.

【解析】

（1）連接OD，證明OD⊥DE即可．因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=90°，因此∠B+∠BAD=90°．因為AO=DO，所以∠BAD=∠ADO．因為∠ADE=∠B，所以∠ADO+∠ADE=90°，即∠ODE=90°．可證DE是⊙O的切線；

（2）由AB=AC，∠ADB=90°可得點D是BC的中點，所以△ABC的面積是△ADC面積的2倍．因為點O是AB的中點，點D是BC的中點，可得AC=2DO=10，∠AED=180°-∠ODE=90°．因為CE=2，所以AE=8，根據射影定理DE2=AECE，所以DE=4，所以S△ABC=2S△ADC=2×（×ACDE）=40．

（1）連接OD，

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵AO=DO，

∴∠BAD=∠ADO，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADO+∠ADE=∠BAD+∠B=90°，

即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）由（1）知，∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD是△ABC的中線，

∴點D是BC的中點，

又∵OB=OA，

∴DO是△ABC的中位線，

∵⊙O的半徑為5，

∴AC=2DO=10，

∵CE=2，

∴AE=AC-CE=8，

∵DO是△ABC的中位線，

∴DO∥AC，

∴∠EDO+∠AED=180°，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠DEC=90°，

∴∠EDC+∠C=90°，

∵ADC=180°-∠ADB=90°，

∴∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠C，

∵∠AED=∠DEC，∠ADE=∠C，

∴△AED～△DEC，

∴即，

∴DE=4，

∴S△ADC=ACDE=20，

∵AD是△ABC的中線，

∴S△ABC=2S△ADC=40.