Question

【題目】如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點，弦CF⊥AB于E點，連結AC．

（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明．

（2）當AD⊥CD，OA=5cm，CD=4cm，求△OCF面積．

Answer 1

【答案】（1）當AC滿足平分∠BAD條件時，有AD⊥CD，見解析；（2）△OCF面積為12cm2．

【解析】

(1)當AD⊥CD時，∠ACD+∠DAC=90°．根據弦切角定理，∠ACD=∠B，而∠B+∠BAC=90°，因此可得出∠BAC=∠CAD，因此AC需要滿足的條件是AC是∠BAD的平分線；

(2)關鍵是求CF、OE的長，可先根據角平分線的性質，求出CE的長，進而求得CF的長，然后在直角三角形COE中求出OE的長，即可根據三角形面積公式求得△OCF面積．

(1)當AC滿足平分∠BAD條件時，有AD⊥CD，

證明如下：連接BC，

則∠ACB=90°，即∠ABC+∠BAC=90°，

∵CD是圓O的切線，

∴∠ACD=∠ABC，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠CAD，

∴∠CAD+∠ACD=90°，

即∠ADC=90°，AD⊥CD；

(2)連結OC、OF．

∵CD切⊙O于C點，

∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠DAC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OAC=∠DAC．

∴AC平分∠BAD，

∴CD=CE，

∵OA=5，CD=4，

∴OC=OA=5，CE=4，

∵CF⊥AB，

∴CF=2CEOE===3，

∴CF=2×4=8，CF×OE÷2=8×3÷2=12，

故△OCF面積為12cm2．