Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為3，A，P兩點在⊙O上，點B在⊙O內，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的長為_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

如圖，連接OA，作AM⊥OB交OB的延長線于M，作PN⊥MA交MA的延長線于N．則四邊形POMN是矩形．想辦法求出OM、BM即可解決問題；

解：如圖，連接OA，作AM⊥OB交OB的延長線于M，作PN⊥MA交MA的延長線于N．則四邊形POMN是矩形．

∵∠POB＝∠PAB＝90°，

∴P、O、B、A四點共圓，

∴∠AOB＝∠APB，

∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，設AM＝4k，OM＝3k，

在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，

解得k＝（負根已經舍棄），

∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝，

∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，

∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，

∴△AMB∽△PNA，

∴＝，

∴＝，

∴BM＝，

∴OB＝OM﹣BM＝1．

故答案為1