Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，E是AB延長線上一點，F是DC延長線上一點，且滿足BF=EF，將線段EF繞點F順時針旋轉90°得FG，過點B作FG的平行線，交DA的延長線于點N，連接NG.

求證：BE=2CF；

試猜想四邊形BFGN是什么特殊的四邊形，并對你的猜想加以證明.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：（1）過F作FH⊥BE于點H，可證明四邊形BCFH為矩形，可得到BH＝CF，且H為BE中點，可得BE＝2CF；

（2）由條件可證明△ABN≌△HFE，可得BN＝EF，可得到BN＝GF，且BN∥FG，可證得四邊形BFGN為菱形．

試題解析：

證明：過F作FH⊥BE于H點，

在四邊形BHFC中，∠BHF＝∠CBH＝∠BCF＝90°，

所以四邊形BHFC為矩形，

∴CF＝BH，

∵BF＝EF，FH⊥BE，

∴H為BE中點，

∴BE＝2BH，

∴BE＝2CF；

猜想：四邊形BFGN是菱形．

證明：

∵將線段EF繞點F順時針旋轉90°得FG，

∴EF＝GF，∠GFE＝90°，

∴∠EFH＋∠BFH＋∠GFB＝90°

∵BN∥FG，

∴∠NBF＋∠GFB＝180°，

∴∠NBA＋∠ABC＋∠CBF＋∠GFB＝180°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠NBA＋∠CBF＋∠GFB＝180°90°＝90°，

由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH＝∠CBF，

∴∠EFH＝90°∠GFB∠BFH＝90°∠GFB∠CBF＝∠NBA，

由BHFC是矩形可得HF＝BC，

∵BC＝AB，∴HF＝AB，

在△ABN和△HFE中， ，

∴△ABN≌△HFE，

∴NB＝EF，

∵EF＝GF，

∴NB＝GF，

又∵NB∥GF，

∴NBFG是平行四邊形，

∵EF＝BF，∴NB＝BF，

∴平行四邊NBFG是菱形．