Question

【題目】已知開口向下的拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸的交點為A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的交點為C，OC＝3OA

（1）請直接寫出該拋物線解析式；

（2）如圖，D為拋物線的頂點，連接BD、BC，P為對稱軸右側拋物線上一點．若∠ABD＝∠BCP，求點P的坐標

（3）在（2）的條件下，M、N是拋物線上的動點．若∠MPN＝90°，直線MN必過一定點，請求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P坐標為（，）（3）直線MN過定點（，）．

【解析】

（1）求出點A坐標，代入y＝ax2﹣2ax+3求出a的值即可求出該拋物線解析式；

（2）分兩種情況討論：若點P在拋物線對稱軸右側且在x軸上方，若點P在x軸下方；

（3）過P作PH∥y軸，分別過點M、N作MG⊥PH于G，NH⊥PH于H．先證明△MPG∽△PNH，根據相似比列出關于k的方程，求得k的兩個值，從而用n的代數式表示直線MN的方程，得出直線MN必過一定點．

（1）當x＝0時，y＝ax2﹣2ax+3＝3，

∴C（0，3），OC＝3OA＝3，

∴OA＝1，A（﹣1，0），

把點A（﹣1，0）代入拋物線解析式得：a+2a+3＝0，

解得：a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖1，若點P在拋物線對稱軸右側且在x軸上方，

過點P作PE∥y軸交BC于點E，PF⊥BC于點F，過點D作DH⊥x軸于點H，

∴∠CFP＝∠BHD＝90°，

∵當y＝﹣x2+2x+3＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D（1，4），

∴DH＝4，BH＝3﹣1＝2，

∴BD＝，

∴Rt△BDH中，sin∠ABD＝，

∵C（0，3）

∴BC＝，PC＝，

設直線BC解析式為y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，

設P（p，﹣p2+2p+3）（1＜p＜3），則E（p，﹣p+3），

∴PE＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，

∵S△BCP＝PEOB＝BCPF，

∴PF＝，

∵∠ABD＝∠BCP，

∴Rt△CPF中，sin∠BCP＝＝sin∠ABD＝，

∴PF＝PC，

∴PF2＝PC2，

解得：p1＝﹣1（舍去），p2＝，

∴﹣p2+2p+3＝，

∴點P坐標為（，）

如圖2，若點P在x軸下方，

∵tan∠ABD＝＝2＞tan45°，

∴∠ABD＞45°，

∵∠BCP＜∠BOC即∠BCP＜45°，

∴∠ABD與∠BCP不可能相等．

綜上所述，點P坐標為（，）；

（3）如圖3，過P作PH∥y軸，分別過點M、N作MG⊥PH于G，NH⊥PH于H．

設直線MN的解析式為y＝kx+n，M（x1，y1）、N（x2，y3），

令kx+n＝﹣x2+2x+3，即＝x2+（k﹣2）x+n﹣3＝0，

∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝n﹣3，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+2n＝k（2﹣k）+2n，

y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+nk（x1+x2）+n2＝﹣3k2+2nk+n2，

∵∠G＝∠MPN＝∠H，

∴△MPG∽△PNH，

∴ ，

∵P坐標為（，），

MG＝﹣x1，PH＝y1﹣，HN＝，GP＝，

∴，

整理，得，

∴，

解得 k1＝﹣3n+，k2＝，

∴直線MN；y＝（﹣3n+）x+n＝（﹣3x+1）n+，過定點（，）；

或y＝（）x+n＝（）n+，過定點（，）即P點，舍去．

∴直線MN過定點（，）．