Question

【題目】如圖所示，直線DP和圓O相切于點C，交直線AE的延長線于點P，過點C作AE的垂線，交AE于點F，交圓O于點B，作平行四邊形ABCD，連接BE，DO，CO．
（1）求證：DA=DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∵CB⊥AE，

∴AD⊥AE，

∴∠DAO=90°，

∵DP與⊙O相切于點C，

∴DC⊥OC，

∴∠DCO=90°，

在Rt△DAO和Rt△DCO中，

，

∴Rt△DAO≌△Rt△DCO，

∴DA=DC

（2）解：∵CB⊥AE，AE是直徑，

∴CF=FB= BC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，

∴CF= AD，

∵CF∥DA，

∴△PCF∽△PDA，

∴ = = ，

∴PC= PD，DC= PD，

∵DA=DC，

∴DA= PD，

在Rt△DAP中，∠P=30°，

∵DP∥AB，

∴∠FAB=∠P=30°，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ABE=90°，

∴∠AEB=60°．

【解析】（1）欲證明DA=DC，只要證明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可；（2）想辦法證明∠P=30°即可解決問題；
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．