Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點，過點B的拋物線y=﹣ （x﹣2）2+m的頂點P在這條直線上，以AB為邊向下方做正方形ABCD．

（1）當m=2時，k= ， b=；當m=﹣1時，k= ， b=；
（2）根據（1）中的結果，用含m的代數式分別表示k與b，并證明你的結論；
（3）當正方形ABCD的頂點C落在拋物線的對稱軸上時，求對應的拋物線的函數關系式；
（4）當正方形ABCD的頂點D落在拋物線上時，直接寫出對應的直線y=kx+b的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）；1；；﹣2
（2）

解：k= ，b=m﹣1．

證明：∵y=﹣ （x﹣2）2+m，

∴拋物線的頂點坐標為（2，m）．

把x=0代入得：y=m﹣1．

∴b=m﹣1．

設直線AB的解析式為y=kx+m﹣1．

將x=2，y=m代入得：2k+m﹣1=m，解得k=

（3）

解：如圖1所示，過點C作CE⊥y軸，垂足為E．

∵ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=90°．

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠EBC．

在△ABO和△BCE中 ，

∴△ABO≌△BCE．

∴EC=OB=2．

∴m﹣1=2．

∴m=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+3

（4）

解：如圖2所示當點B在y軸的正半軸上時，過點D作DE⊥x軸與點E．

由（2）可知：直線AB的解析式為y= x+m﹣1．

當x=0時，y=m﹣1，當y=0時，x=2﹣2m．

∴OA=2m﹣2，OB=m﹣1．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB=1﹣m，ED=AO=2m﹣2．

∴D（1﹣m，2﹣2m）．

∵點D在拋物線上，

∴2﹣2m=﹣ （﹣m﹣1）2+m，解得m=9或m=1（舍去）．

∴直線的解析式為y= x+9．

如圖3所示：當點B在y軸的負半軸上時，

當x=0時，y=m﹣1，當y=0時，x=2﹣2m．

∴OA=2﹣2m，OB=1﹣m．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB，ED=AO．

∴D（3﹣3m，2m﹣2）．

∵點D在拋物線上，

∴2m﹣2=﹣ （1﹣3m）2+m，解得m=﹣ 或m=1（舍去）．

∴直線的解析式為y= x﹣ ．

綜上所述，直線的解析式為y= x+9或y= x﹣

【解析】解：（1）當m=2時，y=﹣ （x﹣2）2+2，
∴P（2，2）．
把x=0代入得：y=1，
∴B（0，1）．
設直線AB的解析式為y=kx+1，
將點P的坐標（2，2）代入得：2k+1=2，解得：k= ．
∴k= ，b=1．
當m=﹣1時，y=﹣ （x﹣2）2﹣1．
∴P（2，﹣1）．
把x=0代入得：y=﹣2，
∴B（0，﹣2）．
設直線AB的解析式為y=kx﹣2，
將點P的坐標（2，﹣1）代入得：2k﹣2=﹣1，解得：k= ．
∴k= ，b=﹣2．
所以答案是： ；1； ；﹣2．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)的相關知識才是答題的關鍵．