Question

8．如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=4cm．動點P在線段AC上以5cm/s的速度從點A運動到點C．過點P作PD⊥AB于點D，將△APD繞PD的中點旋轉180°得到△A′DP．設點P的運動時間為x（s）．
（1）當點A′落在邊BC上時，
①四邊形AD A′P的形狀為平行四邊形；
②求出此時x的值；
（2）設△A′DP的三邊在△ABC內的總長為y（cm），求y與x之間的函數關系式；
（3）如圖（2），另有一動點Q與點P同時出發，在線段BC上以5cm/s的速度從點B運動到點C．過點Q作QE⊥AB于點E，將△BQE繞QE的中點旋轉180°得到△B′EQ．連結A′B′．當直線A′B′與AB垂直時，求線段A′B′的長．

Answer 1

分析 （1）①旋轉變換中，對應的邊相等，再根據“兩組對邊分別相等”，則可判斷出ADA'P為平行四邊形，②當A’在BC邊上時，根據線段之間的數量關系，求出x的值；
（2）分兩種情況討論，①當A'在△ABC的內部和邊BC上，②當A'在△ABC的外部，兩種情況分別用x表示相應線段的長度，則可求得y與x的函數關系式；
（3）由A'B'⊥AB，分析得到題中隱藏的相等線段，即可求得A'B'的長度．

解答 解：（1）①如圖1，

由旋轉的性質可知：PA'=AD，PA=A'D，
故答案為：平行四邊形；    
②由AB²=AC²+BC²，得AB=$\sqrt{41}$，
∵sin∠A=$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{\sqrt{41}}$，cos∠A=$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{\sqrt{41}}$，AP=5x，
∴PA'=AD=APcos∠A=$\frac{25x}{\sqrt{41}}$，CP=5-5x，
∵cos∠CPA'=cos∠A=$\frac{CP}{PA′}$，即$\frac{5-5x}{\frac{25x}{\sqrt{41}}}$=$\frac{5}{\sqrt{41}}$，
解得x=$\frac{41}{66}$；

（2）如圖2，

①當0＜x≤$\frac{41}{66}$時，
∵A'P=AD=AP cos∠A=$\frac{25x}{\sqrt{41}}$，PD=APsin∠A=$\frac{20x}{\sqrt{41}}$，A'D=AP=5x，
∴y=A'P+PD+A'D=$\frac{25x}{\sqrt{41}}+\frac{20x}{\sqrt{41}}+5x=\frac{45\sqrt{41}+205}{41}x$；
②當$\frac{41}{66}$＜x≤1時，
∵PM=$\frac{PC}{cos∠A}=\sqrt{41}（1-x）$，
DF=DBcosA=$\frac{41-25x}{\sqrt{41}}•\frac{5\sqrt{41}}{41}=\frac{205-125x}{41}$，
∴y=PM+PD+DF=$\sqrt{41}（1-x）+\frac{20x}{\sqrt{41}}+\frac{205-125x}{41}=\frac{（20\sqrt{41}-166）x+246}{41}$；

（3）如圖3，設B'A'垂直AB于H，

則DH=PA'=AD，HE=B'Q=EB，
∴AB=2AD+2EB，即2×$\frac{25x}{\sqrt{41}}$+2×$\frac{20x}{\sqrt{41}}$=$\sqrt{41}$，
解得：x=$\frac{41}{90}$，
又∵B′H=QE=BQsinB=5x•$\frac{5}{\sqrt{41}}$=$\frac{25x}{\sqrt{41}}$，A′H=PD=APsinA=5x•$\frac{4}{\sqrt{41}}$=$\frac{20x}{\sqrt{41}}$，
∴A'B'=B'H-A'H=$\frac{5x}{\sqrt{41}}$=$\frac{5}{\sqrt{41}}$×$\frac{41}{90}$=$\frac{\sqrt{41}}{18}$，
∴A'B'的長度為$\frac{\sqrt{41}}{18}$．

點評 此題考查了旋轉變換的性質、平行四邊形的判定、分類討論思想的運用，熟練掌握平行四邊形的判定及解直角三角形是解題的關鍵．