Question

（2012•豐臺區一模）將矩形紙片分別沿兩條不同的直線剪兩刀，可以使剪得的三塊紙片恰能拼成一個等腰三角形（不能有重疊和縫隙）．
小明的做法是：如圖1所示，在矩形ABCD中，分別取AD、AB、CD的中點P、E、F，并沿直線PE、PF剪兩刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN （如圖2）．
（1）在圖3中畫出另一種剪拼成等腰三角形的示意圖；
（2）以矩形ABCD的頂點B為原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系（如圖4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，點P在邊AD上（不與點A、D重合），點M、N在x軸上（點M在N的左邊）．如果點D的坐標為（5，8），直線PM的解析式為y=kx+b，則所有滿足條件的k的值為

8

5

，

4

3

或2

．

Answer 1

分析：（1）可直接沿AD、CD中點，BC、CD中點剪開；
（2）△MNP是等腰三角形，分①PM=PN，②PM=MN，③PN=MN三種情況取AB、CD的中點E、F，沿PE、PF剪開，拼接成等腰三角形，然后求出相應的k值．

解答：解：（1）如圖1：沿AD、CD中點，BC、CD中點剪開，即可得到一個等腰△PMN；

（2）取AB、CD的中點E、F．
∵點D的坐標為（5，8），四邊形ABCD是矩形，
∴E（0，4），F（5，4）．
①如圖2，若PM=PN，則P（2.5，8）．
將點P、E的坐標分別代入直線PM的解析式為y=kx+b，得

8=2.5k+b 4=b

，
解得，

k= 8 5 b=4

；

②如圖3，若PM=MN，則PM=MN=10，所以，EP=5，
∵AE=4，
∴在Rt△APE中，根據勾股定理知AP=

EP2-AE2

=

52-42

=3，
∴P（3，8）．
將點P、E的坐標分別代入直線PM的解析式為y=kx+b，得

8=3k+b 4=b

，
解得，

k= 4 3 b=4

；

③如圖4，若PN=MN，則PN=MN=10，
所以，PF=5，
∵DF=4，
∴在Rt△PDF中，根據勾股定理知PD=

PF2-DF2

=

52-42

=3
∴P（2，8）．
將點P、E的坐標分別代入直線PM的解析式為y=kx+b，得

8=2k+b 4=b

，
解得，

k=2 b=4

．
綜上所述，
k=

8

5

，

4

3

或2；
故答案是：

8

5

，

4

3

或2．

點評：本題考查了一次函數綜合題．解答（2）題時，需要分類討論，以防漏解．