Question

（2012•豐臺區一模）已知：△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點M，連接BM和DM．
（1）如圖1，如果點D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數量關系與位置關系是

BM=DM且BM⊥DM

；
（2）將圖1中的△ADE繞點A旋轉到圖2的位置時，判斷（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BM=DM=

1

2

EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）根據旋轉的性質首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS證明△ABD≌△CBF，進而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM與DM的位置關系及數量關系．

解答：解：（1）∵M是EC的中點，
∴BM=

1

2

EC，DM=

1

2

EC，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴DM=BM．
∵M是EC的中點，
∴MC=

1

2

EC，
∴BM=MC=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案為：BM=DM且BM⊥DM．

（2）成立． 
理由如下：延長DM至點F，使MF=MD，連接CF、BF、BD．
在△EMD和△CMF中，
∵

CM=EM ∠CMF=∠EMD DM=MF

∴△EMD≌△CMF（SAS），
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．
∴∠8=∠BAD．
在△ABD和△CBF中，
∵

CF=AD ∠8=∠BAD AB=BC

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．
∴∠DBF=∠ABC=90°．
∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及圖形的旋轉，正確利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解題關鍵．