Question

（2012•豐臺區一模）已知：關于x的一元二次方程：x²-2mx+m²-4=0．
（1）求證：這個方程有兩個不相等的實數根；
（2）當拋物線y=x²-2mx+m²-4與x軸的交點位于原點的兩側，且到原點的距離相等時，求此拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分保持能夠不變，得到圖形C₁，將圖形C₁向右平移一個單位，得到圖形C₂，當直線y=x+b（b＜1）與圖形C₂恰有兩個公共點時，寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據要證方程有兩個不相等的實數根，只要證出△=b²-4ac＞0，即可得出答案；
（2）利用二次函數的對稱性得出對稱軸是y軸，進而得出m的值即可；
（3）畫出翻轉后新的函數圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動的范圍，求出b的取值范圍．

解答：（1）證明∵△=（-2m）²-4（m²-4）=16＞0．
∴該方程總有兩個不相等的實數根．

（2）由題意可知y軸是拋物線的對稱軸，
故-2m=0，
解得m=0．
∴此拋物線的解析式為y=x²-4．

（3）如圖，當直線y=x+b經過A（-1，0）時-1+b=0，
可得b=1，又因為b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當直線y=x+b經過點B（3，0）時，3+b=0，則b=-3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為-3＜b＜1時，直線y=x+b；（b＜3）與此圖象有兩個公共點．

點評：本題考查了根的判別式以及二次函數的對稱性和由函數圖象確定坐標、直線與圖象的交點問題，綜合體現了數形結合的思想．