Question

【題目】如圖，將矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，連接AE，CF，AC.

(1)求證：四邊形AECF為菱形；

(2)若AB＝4，BC＝8，①求菱形AECF的邊長；②求折痕EF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）①5；②2.

【解析】試題分析：（1）根據折疊的性質得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC，得到∠FAC=∠ECA，則可根據“ASA”判斷△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根據菱形的判定方法得到四邊形AECF為菱形；
（2）①設菱形的邊長為x，則BE=BCCE=8x，AE=x，在Rt△ABE中，根據勾股定理得然后解方程即可得到菱形的邊長；
②先在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出則然后在Rt△AOE中，利用勾股定理計算出

試題解析：證明：(1)∵矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕為EF，

∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，

∵AD∥AC，

∴∠FAC=∠ECA，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，

∵OA=OC，AC⊥EF，

∴四邊形AECF為菱形；

(2)①設菱形的邊長為x，則BE=BCCE=8x，AE=x，

在Rt△ABE中,∵

∴ 解得x=5，

即菱形的邊長為5；

②在Rt△ABC中,

∴

在Rt△AOE中，AE=5，

∴