Question

【題目】如圖，△ABC是圓內接等腰三角形，其中AB=AC，點P在上運動（點P與點A在弦BC的兩側），連結PA，PB，PC，設∠BAC=α，=y，小明為探究y隨α的變化情況，經歷了如下過程

（1）若點P在弧BC的中點處，α=60°時，y的值是______．

（2）小明探究α變化獲得了一部分數據，請你填寫表格中空缺的數據．在如圖2平面直角坐標系中以表中各組對應值為點的坐標進行描點，并畫出函數圖象：

α	…	30°	60°	90°	120°	150°	170°	…
y	．．	0.52			1.73	1.93	1.99	…

（3）從圖象可知，y隨著α的變化情況是______；y的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)圖象見解析；(3)隨增大而增大，.

【解析】

（1）連OB，OC，由△ABC是圓內接等腰三角形及α＝60°可知△ABC是⊙O的內接正三角形，由點P是弧BC的中點，根據垂徑定理的推論得到AP為⊙O的直徑，易得△OBP和△OPC都是等邊三角形，于是得到結論；

（2）當α＝60°時，由(1)可知y=1；當α＝90°時，使三角形ACP繞A點旋轉使得AC與AB重合；求出P、B、P’共線即可得出答案；

（3）觀察圖像可知y隨著α增大而增大，并可看出的取值范圍.

解：(1) 解：（1）連OB，OC，如圖

∵△ABC是圓內接等腰三角形，α＝60°，

∴△ABC是⊙O的內接正三角形，

∵點P是弧BC的中點，△ABC是⊙O的內接正三角形，

∴AP為⊙O的直徑，

∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，

∵△ABC是⊙O的內接正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠BPO=∠APC=60°，

∴△OBP和△OPC都是等邊三角形，

∴PB=PC=OP=OA，

∴PB+PC=PA，

則.

(2) 當α＝60°時，由(1)可知y=1；

當α＝90°時

使三角形ACP繞A點旋轉使得AC與AB重合，如圖

∵∠4=∠5,

∵∠3+∠4=90°，

∴∠3+∠5=90°，

又∵∠1+∠2=180°，

∴P、B、P’共線，

∵△APP’為直角三角形且AP=AP’，

∴=== ≈1.41

	...	30°	60°	90°	120°	150°	170°	...
	...	0.52	1	1.41	1.73	1.93	1.99	...

(3)由圖象可知：隨增大而增大，的取值范圍是：．