Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分別找一點F、E，連接CE、EF、CF，當△CEF的周長最小時，則∠ECF的度數為______．

Answer 1

【答案】60°

【解析】

此題需分三步：第一步是作出△CEF的周長最小時E、F的位置（用對稱即可）；第二步是證明此時的△CEF的周長最小（利用兩點之間線段最短）；第三步是利用對稱性求此時∠ECF的值.

分別作出C關于AD、AB的對稱點分別為C1、C2，連接C1C2，分別交AD，AB于點E、F再連接CE、CF此時△CEF的周長最小，理由如下：

在AD、AB上任意取E1、F1兩點

根據對稱性：

∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1

∴△CEF的周長= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2

而△CE1F1的周長= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1

根據兩點之間線段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2

∴△CEF的周長的最小為：C1C2.

∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°

∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°

∴∠CC1C2＋∠CC2C1=180°－∠DCB=60°

根據對稱性：∠CC1C2=∠ECD，∠CC2C1=∠FCB

∴∠ECD＋∠FCB=∠CC1C2＋∠CC2C1=60°

∴∠ECF=∠DCB－（∠ECD＋∠FCB）=60°

故答案為：60°