Question

【題目】已知點P是直線上一定點，點A是x軸上一動點不與原點重合，連接PA，過點P作，交y軸于點B，探究線段PA與PB的數量關系．

1如圖，當軸時，觀察圖形發現線段PA與PB的數量關系是______；

2當PA與x軸不垂直時，在圖中畫出圖形，線段PA與PB的數量關系是否與Ⅰ所得結果相同？寫出你的猜想并加以證明；

3 為何值時，線段？此時的度數是多少，為什么？

Answer 1

【答案】(1) PA=kPB;(2)相同，PA=kPB，證明見解析；（3）當k=1時，PA=PB，此時∠POA=45°或∠POA=135°．

【解析】試題分析：（1）由PA⊥x軸，PB⊥PA，OB⊥OA，可得點P的坐標為（PB，P A），又由點P是直線y=kx（k＞0）上一定點，即可得PA=kPB；

（2）首先過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，設P（x，kx），易證得Rt△APC∽Rt△BPD，由相似三角形的對應邊成比例，易證得PA=kPB；

（3）由（2）得：PA=kPB，當k=1時，PA=PB，可證得Rt△APC≌Rt△BPD，則可得PC=PD，即可得直線y=kx（k=1）平分一、三象限的夾角，繼而求得∠POA的度數．

試題解析：（1）∵PA⊥x軸，PB⊥PA，OB⊥OA，

∴PB∥x軸，PA∥y軸，

∴點P的坐標為（PB，PA），

∵點P是直線y=kx（k＞0）上一定點，

∴PA=kPB，

故答案為：PA=kPB；

（2）PA=kPB，證明如下：

如圖2，過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，

則∠PDB=∠PCA=90°，

設P（x0，kx0），

∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，

∴∠APC=∠BPD．

∴Rt△APC∽Rt△BPD，

∴,

∴=k，

∴PA=kPB；

（3）當k=1時，PA=PB，此時∠POA=45°或∠POA=135°．

理由：由（2）得：PA=kPB，

則當k=1時，PA=PB．

∵Rt△APC∽Rt△BPD，

∴Rt△APC≌Rt△BPD，

∴PC=PD，

即點P到x軸、y軸的距離相等，

∴直線y=kx（k=1）平分一、三象限的夾角，

∴∠POA=45°或∠POA=135°（如圖3）．