Question

【題目】如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”，

(1)如圖△ABC中，AB=AC=，BC=2，求證：△ABC是“美麗三角形”；

(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若△ABC是“美麗三角形”，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BC=3或BC=4.

【解析】

（1）由“美麗三角形”的定義知，要求出△ABC的中線長，再作比較，由AB=AC=，可知△ABC是等腰三角形，由“三線合一”，可作BC的中線AD,則AD即為BC的高線，由勾股定理求AD的長即可證明；

（2）Rt△ABC中有三條中線，由斜邊上的中線是斜邊的一半，排除斜邊的中線；則有兩種可能：AC邊的中線等于AC或BC邊的中線等于BC.結合中線的定義及勾股定理即可解答.

（1）證明：如圖，作BC的中線AD，如圖，

∵AB=AC= ，AD是BC的中線，

∴AD⊥BC, BD=CD= ,

在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= ,

∴AD=BC，

∴△ABC是美麗三角形.

（2）解：①如圖1，作AC的中線BD，△ABC是“美麗三角形”，

當BD=AC= 時，

則CD= ,

由勾股定理得 .

②如圖2，作BC的中線AD，△ABC是“美麗三角形”，

當BC=AD時，

則CD= ,

在Rt△ACD中，由勾股定理得 ，

則 ，解得CD=2，

∴BC=2CD=4.

故BC=3或BC=4.