Question

【題目】已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如圖1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四邊形ABCD是平行四邊形，則∠ABC=____.45°；
（2）如圖2，若∠ABC=30°，△ACD是等邊三角形，AB=3，BC=4．求BD的長；
（3）如圖3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之間距離是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）BD=5；（3）當B、O、D共線時，BD的值最大，最大值為2+．

【解析】

（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四邊形的性質得∠D=∠ABC，在△ACD中，由內角和定理求解；
（2）如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）如圖3中，在△ACD的外部作等邊三角形△ACO，以O為圓心OA為半徑作⊙O．首先說明點B在⊙O上運動，當B、O、D共線時，BD的值最大，求出OD即可解決問題；

（1）解：（1）如圖1中，

∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°．
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC．
∵∠DAC=2∠ABC，
∴2∠ABC+2∠ABC=180°，
∴∠ABC=45°
故答案為：45；
（2）如圖2，以AB為邊在△ABC外作等邊三角形△ABE，連接CE．

∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵△AEB是等邊三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）如圖3中，在△ACD的外部作等邊三角形△ACO，以O為圓心OA為半徑作⊙O．

∵∠ABC=∠AOC=30°，
∴點B在⊙O上運動，
作OE⊥DA交DA的延長線于E．
在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°，
∴OE=OA=1，AE=，
在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+，
∴DO==，
當B、O、D共線時，BD的值最大，最大值為OB+OD=2+．