Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=2，D是線段BC上的一個動點，點D是關于直線AB、AC的對稱點分別為M、N，則線段MN長的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，連接AM，AN，AD，

∵點D是關于直線AB、AC的對稱點分別為M、N，

∴AM=AD=AN，

∴∠MAB=∠DAB，∠NAC=∠DAC，

∵∠BAC=45°，

∴∠MAN=90°，

∴△MAN是等腰直角三角形，

∴MN= AM，

∴當AM取最小值時，MN最小，

即AD取最小值時，MN最小，

∴當AD⊥BC時，AD最小，

過B作BH⊥AC于H，

∴AH=BH= AB，

∴CH=（1﹣ ）AB，

∵BH2+CH2=BC2，

∴（ AB）2+[（1﹣ ）AB]2=4，

∴AB2=4+2 ，

∴AD= ，

∴MN= ，

∴線段MN長的最小值是 ．

【考點精析】認真審題，首先需要了解軸對稱-最短路線問題(已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑)．