Question

【題目】在中，．

（1）觀察猜想

如圖1，分別交于點的值是 ，直線與直線相交所成的較小角的度數是 ．

（2）類比探究

如圖2，將繞點逆時針旋轉，請寫出的值及直線與直線相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說明理由，

（3）解決問題

若，請直接寫出點在同一直線上時的值．

Answer 1

【答案】（1），45°；（2），直線BD與直線CP相交成小角的度數為45°，理由見解析；（3）或

【解析】

（1）由推出，變形即可求出，由已知條件中，，知三角形是等腰直角三角形，即可推出直線與直線相交所成的較小角的度數；

（2） 如圖2中，假設BD與AC相交于點M，與PC交于點N，證明△PAC∽△DAB，即可解決問題；

（3）分兩種情況：當點D在線段PC上時，當點P在線段CD上時，求解即可.

(1) ∵，

∴是等腰直角三角形，

∴直線與直線相交所成的較小角是∠A，∠A=45°，

∵，

∴，

∴，

∴；

(2)如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°，

∴∠PAC＝∠DAB，

∵，

∴，

∴△DAB∽△PAC，

∴∠PCA＝∠DBA，，

∵∠EOC＝∠AOB，

∴∠CEO＝∠OAB＝45°，

∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數為45°．

(3)或.

①如圖，當點D在線段PC上時，

設PA＝PD＝1，則AC＝3，則PC＝，

∴，

∴；

②如圖，當點P在線段CD上時，

設PA＝PD＝1，則AC＝3，則PC＝，

∴，

∴.

綜上，的值為或.