Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2﹣ x﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右邊），與y軸交于點C．

（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點D是此拋物線上的點，點E是其對稱軸上的點，求以A，B，D，E為頂點的平行四邊形的面積；
（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： x2﹣ x﹣2=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（4，0）、B（﹣2，0）．

把x=0代入拋物線的解析式得：y=﹣2，

∴C（0，﹣2）

（2）

解：由題意得，拋物線的對稱軸為x=1，

如圖1，當AB為對角線時，D1為拋物線的頂點，此時四邊形ADBE為菱形，

∴AB=6，DE=|2k|= ，

故S平行四邊形ADBE= ×6× =

當AB為邊時，DE∥AB，且DE=AB，

只能在x軸上方，有兩種情況，D2（﹣5， ）或D3（7， ）但面積相等，

S平行四邊形ABDE=6× = ，

∴以點A，B，D，E為頂點的平行四邊形的面積為 或

（3）

解：此拋物線的對稱軸上存在點P，使得△ACP是等腰三角形，設P（1，a），

∴AP2=a2+9，CP2=（a+2）2+1=a2+4a+5，AC2=20，

①當AP=CP時，即：a2+9=a2+4a+5，

∴a=1，

∴P1（1，1）

②當AC=CP時，即：a2+4a+5=20，

∴a=﹣2± ，

∴P2（1，﹣2+ ），P3（1，﹣2﹣ ）

③當AC=AP時，即：a2+9=20，

∴a=± ，

∴P4（1， ），P5（1，﹣ ），

∴滿足條件的點P的坐標為P1（1，1）、P2（1，﹣2+ ），P3（1，﹣2﹣ ）、P4（1， ），P5（1，﹣ ）．

【解析】（1）分別令y=0，x=0，即可解決問題．（2）分以AB為邊和為對角線兩種情況，利用面積公式即可求出平行四邊形的面積．（3）先設出點P的坐標，進而表示出AP．CP．AC，再按等腰三角形的邊分成三種情況，建立方程求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．