Question

15．如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=-$\frac{1}{3}$x+b交y軸于點A（0，1），交x軸于點B，過點E（1，0）作x軸的垂線EF交AB于點D，點P從D出發，沿著射線ED的方向向上運動，設PD=n．
（1）求直線AB的表達式；
（2）求△ABP的面積（用含n的代數式表示）；
（3）若以P為直角頂點，PB為直角邊在第一象限作等腰直角△BPC，請問隨著點P的運動，點C是否也在同一直線上運動？若在同一直線上運動，請求出直線解析式；若不在同一直線上運動，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標代入直線AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐標；
（2）過點A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，即可求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即可求得；
（3）利用等腰直角三角形的性質，判斷出，△PCG≌△BPE，即可得出EG=n+$\frac{8}{3}$，CG=n+$\frac{2}{3}$，即可得出點C坐標，即可得出結論．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$x+b經過A（0，1），
∴b=1，
∴直線AB的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+1．
當y=0時，0=-$\frac{1}{3}$x+1，解得x=3，
∴點B（3，0）．

（2）如圖，過點A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，
∵x=1時，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{2}{3}$，P在點D的上方，
∴PD=n-$\frac{2}{3}$，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$PD•AM=$\frac{1}{2}$×1×（n-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$，
由點B（3，0），可知點B到直線x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長為2，
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}$PD×2=n-$\frac{2}{3}$，
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$+n-$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{2}$n-1
（3）隨著點P的運動，點C是也在同一直線上運動，此直線的解析式為y=x+1，
如圖1，過點C作CG⊥EF，
∴∠PCG+∠CPG=90°，
∵△BPC是等腰直角三角形，
∴BP=CP，∠BPC=90°，
∴∠CPG+∠BPE=90°．
∴∠PCG=∠BPE，
在△PCG和△BPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PGC=∠BEP=90°}\\{∠PCG=∠BPE}\\{CP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△BPE，
∴CG=PE，PG=BE，
∵B（3，0），E（1，0），
∴BE=2，
∴PG=2，
∵點D在直線AB上，
∴D（1，$\frac{2}{3}$），
∴DE=$\frac{2}{3}$，
∵PD=n，
∴PE=DE+PD=n+$\frac{2}{3}$，EG=PE+PG=n+$\frac{2}{3}$+2=n+$\frac{8}{3}$，
∴CG=n+$\frac{2}{3}$，
∴C（n+$\frac{5}{3}$，n+$\frac{8}{3}$），
設C（x，y），
∴x=n+$\frac{5}{3}$，y=n+$\frac{8}{3}$，
∴y=x+1．
即：隨著點P的運動，點C是也在同一直線上運動，此直線的解析式為y=x+1．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，三角形的面積計算方法，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解本題的關鍵是判斷△PCG≌△BPE，坐標系中求三角形的面積的常用方法是作出三角形的鉛錘高．