Question

6．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，連接EF
（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；
（2）求證：BE²+CF²=EF²；
（3）如圖2，當∠ABC=45°，若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．

Answer 1

分析 （1）利用四邊形AEDF的內角和為360°，可求得∠AFD+∠AED=180°，再利用鄰補角可得∠BED+∠AED=180°，根據等角的補角相等可求得∠BED=∠AFD；
（2）延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=CP，再利用SAS得到撒尿性EDF和三角形PDF全等，利用全等三角形對應邊相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP為直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出關系式，等量代換即可得證；
（3）連接AD，由AB=AC，且D為BC的中點，利用三線合一得到AD垂直于BC，AD為角平分線，再由三角形ABC為等腰直角三角形，得到一對角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED與三角形CFD全等，借助（2）的結論求出EF，再求出EF邊上的高即可得出結論．

解答 （1）證明：
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠AFD+∠AED=180°，
∵∠BED+∠AED=180°，
∴∠BED=∠AFD；
（2）證明：如圖1，延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，

在△BED和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=PD}\\{∠EDB=∠PDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CPD，
在△EDF和△PDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DP}\\{∠EDF=∠PDE=90°}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根據勾股定理得：CF²+CP²=PF²，
∵BE=CP，PF=EF，
∴EF²=BE²+CF²；
（3）如圖2，連接AD，

∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC的中點，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FCD}\\{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，DE=DF，
即△EDF為等腰直角三角形，
∴EF邊上的高為$\frac{1}{2}$EF
由（2）知，EF²=BE²+CF²=144+25=169，
∴EF=13
則S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF•$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{4}$EF²=$\frac{169}{4}$．

點評 本題為三角形的綜合應用，主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，以及勾股定理等，構造全等三角形、熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．