Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，直線y=-x-4經過A，C兩點，

（1）求拋物線的表達式；

（2）如果點P，Q在拋物線上（P點在對稱軸左邊），且PQ∥AO，PQ=AO，求P，Q的坐標；

（3）動點M在直線y=-x-4上，且以C，O，M為頂點的三角形與△ABC相似，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點坐標（﹣2，﹣4），Q點坐標（0，﹣4）；（3）M點的坐標為（﹣，-），（﹣3，-1）

【解析】

（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、C點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于x軸的直線與拋物線的交點關于對稱軸對稱，可得P、Q關于直線x＝1對稱，根據PQ的長，可得P點的橫坐標，Q點的橫坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（3）根據兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得CM的長，根據等腰直角三角形的性質，可得MH的長，再根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解：（1）當x=0時，y=-4，即C（0，-4）；

當y=0時，-x-4=0，解得，x=-4，即A（-4,0）

將A，C點坐標代入，得

，

解得．

拋物線的表達式為．

（2）∵A（-4,0），

∴AO=4．

∵ PQ=AO，

∴PQ=AO=2．

又∵PQ∥AO，

∴ P、Q關于對稱軸x=﹣1對稱．

∴P點的橫坐標為﹣1﹣1=﹣2，Q點的橫坐標為﹣1+1=0．

當x=﹣2時，y=×（﹣2）2+（﹣2）-4=﹣4，

∴P（﹣2，﹣4）；

當x=0，y=×（0）2+0-4=﹣4，

∴Q（0，﹣4）；

P點坐標（﹣2，﹣4），Q點坐標（0，﹣4）．

（3）由，得，

∴B（-2,0）

∵A（-4,0），C（0，-4）

∴OA =OC=4，OB=2．

∴A B=6，,∠ MCO=∠CAB=45o．

①當△MCO∽△CAB時，，

即，解得CM=．

如圖，過點M作MN⊥y軸于點N，則．

當時，，

∴M（，）．

②當△OCM∽△CAB時，，

即，解得CM=．

同①可得，．

當時，，

∴M（，）．

綜上所述：M點的坐標為（﹣，-），（﹣3，-1）．