Question

【題目】如圖，BC是⊙O的直徑，CE是⊙O的弦，過點E作⊙O的切線，交CB的延長線于點G，過點B作BF⊥GE于點F，交CE的延長線于點A．

（1）求證：∠ABG＝2∠C；

（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）連接OE，根據切線的性質得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根據等腰三角形的性質得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根據三角形的外角的性質即可得到結論；

（2）根據勾股定理得到BF＝＝3，根據相似三角形的性質即可得到結論．

證明：（1）如下圖：連接OE，

∵EG是⊙O的切線，

∴OE⊥EG，

∵BF⊥GE，

∴OE∥AB，

∴∠A＝∠OEC，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠C，

∴∠A＝∠C，

∵∠ABG＝∠A+∠C，

∴∠ABG＝2∠C；

解：（2）∵BF⊥GE，

∴∠BFG＝90°，

∵GF＝3，GB＝6，

∴BF＝＝3，

∵BF∥OE，

∴△BGF∽△OGE，

∴，

∴，

∴OE＝6，

∴⊙O的半徑為6．