Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD垂直于過點C的切線，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若AC=2 ，CD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OC，

∵DC切⊙O于C，

∴OC⊥CF，

∴∠ADC=∠OCF=90°，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD

（2）解：連接BC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°=∠ADC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴ ，

在Rt△ADC中，AC=2 ，CD=2，

∴AD=4，

∴ ，

∴AB=5．

【解析】（1）連接OC，根據切線的性質判斷出AD∥OC，得到∠DAC=∠OCA，再根據OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD．（2）連接BC，得到△ADC∽△ACB，根據相似三角形的性質即可求出AB的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用角平分線的性質定理和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．