Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，2），直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如圖1），設點A關于直線OP的對稱點為B．
（1）寫出點B的坐標；
（2）過原點O的直線l從OP的位置開始，繞原點O順時針旋轉． ①如圖1，當直線l順時針旋轉10°到l1的位置時，點A關于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數(shù)是 ， 線段OC的長為；
②如圖2，當直線l順時針旋轉55°到l2的位置時，點A關于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數(shù)是；
③直線l順時針旋轉n°（0＜n≤90），在這個運動過程中，點A關于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑長為（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖

A關于直線OP的對稱點正好落在x軸上，

∵根據(jù)軸對稱性質∴得出OA=OB=2，

∴B點的坐標是（2，0）

（2）20°；2；110°；
【解析】（2）解： ①如圖1，過A作AZ⊥直線l1于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關于直線l1的對稱點，
∵根據(jù)軸對稱性質得出OA=OC=2，
∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，
∴∠BOC=55°+55°﹣90°=20°，
所以答案是：20°，2；
②解：如圖2，過A作AM⊥直線l2于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關于直線l2的對稱點，
∵根據(jù)軸對稱性質得出OA=OD，
∴∠AOM=∠DOM=180°﹣（45°+55°）=80°，
80°+80°﹣90°=70°，
∴∠BOD=180°﹣70°=110°，
所以答案是：110°；
③解：直線l順時針旋轉n°（0＜n≤90），在這個運動過程中，點A關于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑為以O為圓心，以2為半徑的弧BQ（Q為A關于旋轉n°后直線l1的對稱點），
圓心角∠BOQ=2（45°+n°）﹣90°=2n°，
由弧長公式得： = ，
所以答案是： ．
【考點精析】利用弧長計算公式和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．