Question

【題目】已知：如圖（1），在△ABC中，AB＝BC＝2CD，∠ABC＝∠DCB＝120°，AC交BD于點E．

（1）如圖1：作BM⊥CA于M，求證：△DCE≌△BME；

（2）如圖2：點F為BC中點，連接AF交BD于點G，當AB＝a時，求線段FG的長度（用含a的代數式表示）；

（3）如圖3：在（2）的條件下，將△ABG沿AG翻折得到△AKG，延長AK交BD于點H，若BH＝5，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a；（3）

【解析】

（1）首先證明BC＝2BM，可得CD＝BM，根據AAS即可證明△DCE≌△BME；

（2）如圖2中，作FN⊥AB交AB的延長線于N．解直角三角形求出AF，再利用相似三角形的性質求出FG；

（3）如圖3中，作FN⊥AB交AB的延長線于N，BM⊥AC于M．設AB＝a．解直角三角形求出GH，BG（用a表示），構建方程求出a即可解決問題．

解：（1）證明：如圖1中，

∵BC＝BA，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠BCA＝30°，

∵BM⊥AC，

∴∠BMC＝90°，

∴BM＝BC，

∵BC＝2CD，BC＝2BM，

∴CD＝BM，

∵∠BCD＝120°，

∴∠ECD＝∠EMB＝90°，

∵∠DEC＝∠BEM，

∴△DCE≌△BME（AAS）．

（2）解：如圖2中，作FN⊥AB交AB的延長線于N．

∵CF＝BF，AB＝BC＝2CD，

∴CD＝BF，

∵∠DCB＝∠FBA＝120°，CB＝BA，

∴△DCB≌△FBA（SAS），

∴∠DBC＝∠BAF，

∵∠BFG＝∠BFA，

∴△FBG∽△FAB，

∴＝，

在Rt△BFN中，∵BF＝a，∠FBN＝60°，∠N＝90°，

∴BN＝a，FN＝a，

∴AF＝＝＝a，

∴FG＝＝＝a．

（3）解：如圖3中，作FN⊥AB交AB的延長線于N，BM⊥AC于M．設AB＝a．

由（2）可知：FG＝a，

∴AG＝AF﹣FG＝a，

∵△FBG∽△FAB，

∴＝

BG＝＝a，

∵△AKG和△ABG關于直線AG對稱，

∴∠GAH＝∠BAF，

∴∠DBC＝∠GAH，

又∵∠BGF＝∠AGH，

∴△BGF∽△AGH，

∴＝，

∴GH＝＝a，

∵BH＝BG+GH＝a＝5，

∴a＝14，

∴BC＝AB＝14，

∵BM⊥AC，

∴∠CMB＝90°，

∴CM＝BCcos30°＝7，

∵△DEC≌△BEM，

∴EC＝EM＝CM＝．