Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA，BC的延長線于點E，F，連接BE，DF．

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）若EF⊥AB，垂足為M，，AE＝2，求菱形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6.

【解析】

（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=OF，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）設OM=x，BM=2x，根據△AOM∽△OBM，求得AM＝＝x，根據△AEM∽△BFM，求得EM：FM=AM：BM=x：2x=，根據△AEM∽△BFM，求得結論．

（1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，

∴∠AEO＝∠CFO，

在△AEO和△CFO中，，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE＝OF，

又∵OB＝OD，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）解：∵，

∴設OM＝x，BM＝2x，

∵EF⊥AB，

又∵AC⊥BD，

∴∠AOM＝∠OBM，

∴△AOM∽△OBM，

∴＝，

∴AM＝＝x，

∵AD∥BC，

∴△AEM∽△BFM，

∴EM：FM＝AM：BM＝x：2x＝，

∵△AEO≌△CFO，

∴AE＝CF，

∵AE∥BF，

∴△AEM∽△BFM，

∴＝，

∴＝，

∴BF＝8，

∴BC＝6，

∴菱形ABCD的邊長為6．