Question

【題目】如圖1，四邊形ABGC內接于⊙O，GA平分∠BGC．

（1）求證：AB＝AC；

（2）如圖2，過點A作AD∥BG交CG于點D，連接BD交線段AG于點W，若∠BAG+∠CAD＝∠AWB，求證：BD＝BG；

（3）在（2）的條件下，若CD＝5，BD＝16，求WG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由GA平分∠BGC可得∠AGB＝∠AGC，然后跟胡圓周角定理證明即可；

（2）設∠AGB＝∠AGC＝x，證得∠BAG+∠CAD＝180°﹣3x＝∠AWB，則∠BGD＝∠BDG＝2x，可得出結論BD＝BG；

（3）延長GC，使CK＝BG＝16，連接AK．根據SAS證明△ABG≌△ACK，可得∠K＝∠AGB＝∠AGC，得出AG＝AK，過點A作AN⊥GK于點N，過點B作BH⊥DG于點H，設HD＝GH＝a，可得出DN＝NG﹣DG＝，證明△ADN∽△BDH，得出比例線段求出a＝6，求出AG的長，證明△AWD∽△BWG，得出，可求出WG．

（1）證明：∵GA平分∠BGC，

∴∠AGB＝∠AGC，

∴弧AB=弧AC，

∴AB＝AC；

（2）證明：設∠AGB＝∠AGC＝x，

∵四邊形ABCD內接于圓O，

∴∠BAC＝180°﹣2x，

∵AD//BG，

∴∠AGB＝∠DAG，

∴∠AGD＝∠DAG＝x，

∴∠BAG+∠CAD＝180°﹣3x＝∠AWB，

∵∠AWB＝∠AGB+∠DBG，

∴∠DBG＝180°﹣3x﹣x＝180°﹣4x，

∴∠BDG＝180°﹣2x﹣(180°﹣4x)＝2x，

∴∠BGD＝∠BDG＝2x，

∴BD＝BG；

（3）解：如圖2，延長GC，使CK＝BG=BD＝16，連接AK．

∵AB＝AC，∠ACK＝∠ABG，

∴△ABG≌△ACK（SAS），

∴∠K＝∠AGB＝∠AGC＝x，

∴AG＝AK，

過點A作AN⊥GK于點N，過點B作BH⊥DG于點H，

設HD＝GH＝a，

∵CD＝5，

∴GK＝2a+5+16＝2a+21，

∵AG＝AK，AN⊥GK，

∴，

∴DN＝NG﹣DG＝，

∵∠AND＝∠BHD，∠ADC＝∠BGD＝∠BDH，

∴△ADN∽△BDH，

∴，

∵∠AGD＝∠DAG，

∴AD=GD＝2a，

∴，

∴a2+8a﹣84＝0，

解得a1＝6，a2＝﹣14（舍去），

∴AD＝12，

∴在Rt△AND中，，

在Rt△AGN中，AG＝=＝6，

∵AD//BG，

∴△AWD∽△BWG，

∴，

∴，

∴．