Question

【題目】已知如圖，直線AB交x軸于點A，交y軸于點B，AB＝，tan∠BAO＝3．

（1）求直線AB的解析式；

（2）直線y＝kx+b經過點B交x軸交于點C，且∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D．動點P從點C出發，沿CB方向以每秒個單位長度的速度向終點B運動，運動時間為t，設△ADP的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，點P在線段BD上，點F在線段AB上，∠APC＝∠FPB，連接AP，過點F作FG⊥AP于點G，交AD于點H，若DP＝DH，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x+6；（2）當0≤t＜1時，S＝5﹣5x，當1＜t≤3時，S＝5x﹣5；（3）點P（，）

【解析】

（1）由三角函數和勾股定理可求點A，點B坐標，用待定系數法可求解析式；

（2）如圖1，過點D作EF⊥AC，交AC于點F，過點B作BE⊥EF，垂足為E，由“AAS”可證△BDE≌△DAF，可得DF＝BE，DE＝AF，可求點D坐標，可求BC解析式，由勾股定理可求BC的長，由面積公式可求解；

（3）如圖2，過點B作BN⊥AB交AP延長線于N，由“ASA”可證△BPN≌△BPF，可得BN＝BF，PN＝PF，由“AAS”可證△AHF≌△BPN，可得AF＝BN，PN＝FH，可求點F坐標，由兩點距離公式可求BF＝＝BN，通過證明△MNP∽△DAP，可得，可求PD的長，由兩點距離公式可求點P坐標．

解：（1）∵tan∠BAO＝3＝，

∴BO＝3AO，

∵AB2＝AO2+BO2＝40，

∴AO＝2，BO＝6，

∴點A（﹣2，0），點B（0，6）

設直線AB解析式為：y＝kx+6，

∴0＝﹣2k+6，

∴k＝3，

∴直線AB解析式為：y＝3x+6；

（2）如圖1，過點D作EF⊥AC，交AC于點F，過點B作BE⊥EF，垂足為E，

∴四邊形BEFO是矩形，

∴BO＝EF＝6，OF＝BE，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠BAD＝45°，

∴AD＝BD，

∵∠ADB＝90°＝∠AFD，

∴∠BDE+∠ADF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠BDE＝∠DAF，且BD＝AD，∠E＝∠AFD＝90°，

∴△BDE≌△DAF（AAS）

∴DF＝BE，DE＝AF，

∵EF＝ED+DF＝AO+OF+OF＝2+2OF＝6

∴OF＝2，

∴點D坐標（2，2），

設BC解析式為：y＝ax+6，

∴2＝2a+6，

∴a＝﹣2，

∴直線BC解析式為：y＝﹣2x+6，

∴當y＝0時，x＝3，

∴點C（3，0），

∴OC＝3，

∴BC＝＝3，

∵AB＝2，且∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝2，

∴CD＝，

當0≤t＜1時，S＝×2×（﹣x）＝5﹣5x，

當1＜t≤3時，S＝×2×（x﹣）＝5x﹣5；

（3）如圖2，過點B作BN⊥AB交AP延長線于N，過點N作MN⊥BC于M，

∵AD＝BD，DH＝PD，

∴AH＝BP，

∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，

∴∠ABC＝∠NBP＝45°，且∠APC＝∠BPN＝∠BPF，BP＝BP，

∴△BPN≌△BPF（ASA）

∴BN＝BF，PN＝PF，

∵FH⊥AP，

∴∠AGF＝∠ABN＝90°，

∴∠FAG+∠AFG＝90°，∠FAG+∠N＝90°，

∴∠AFG＝∠N，且∠BAD＝∠PBN＝45°，AH＝BP，

∴△AHF≌△BPN（AAS）

∴AF＝BN，PN＝FH，

∴BF＝AF，FH＝FP，

∴點F是AB中點，

∴點F坐標（﹣1，3）

∴BF＝＝BN，

∵∠NBM＝45°，

∴BM＝MN＝，

∴MD＝BD﹣BM＝，

∵MN⊥BC，AD⊥BC，

∴AD∥MN，

∴△MNP∽△DAP，

∴

∴，且MP+PD＝

∴PD＝

設點P（x，﹣2x+6），

∴（x﹣2）2+（﹣2x+6﹣2）2＝，

∴x＝，x＝（不合題意舍去）

∴點P（，）