Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點F在邊BC上，過點F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），連接CE、AE，點G是AE的中點，連接FG．

（1）用等式表示線段BF與FG的數(shù)量關(guān)系是　 ；

（2）將圖1中的△CEF繞點C按逆時針旋轉(zhuǎn)，使△CEF的頂點F恰好在正方形ABCD的對角線AC上，點G仍是AE的中點，連接FG、DF．

①在圖2中，依據(jù)題意補全圖形；

②求證：DF＝FG．

Answer 1

【答案】（1）BF＝FG；（2）①如圖2所示，見解析；②見解析．

【解析】

（1）先判斷出△AGB≌△CGB，得到∠GBF=45°，再判斷出△EFG≌△CFG，得到∠GFB=45°，從而得到△BGF為等腰直角三角形，即可．
（2）①畫圖2即可；
②如圖2，連接BF、BG，證明△ADF≌△ABF得DF=BF，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：AG=EG=BG=FG，由圓的定義可知：點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∠BGF=2∠BAC=90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得結(jié)論．

（1）BF＝FG，

理由是：如圖1，連接BG，CG，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，

∵EF⊥BC，FE＝FC，

∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，

∴∠ACE＝90°，

∵點G是AE的中點，

∴EG＝CG＝AG，

∵BG＝BG，

∴△AGB≌△CGB（SSS），

∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，

∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，

∴△EFG≌△CFG（SSS），

∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，

∵∠BFE＝90°，

∴∠BFG＝45°，

∴△BGF為等腰直角三角形，

∴BF＝FG．

故答案為：BF＝FG；

（2）①如圖2所示，

②如圖2，連接BF、BG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝45°，

∵AF＝AF，

∴△ADF≌△ABF（SAS），

∴DF＝BF，

∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，點G是AE的中點，

∴AG＝EG＝BG＝FG，

∴點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，

∵，∠BAC＝45°，

∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BF＝FG，

∴DF＝FG．