Question

【題目】閱讀下列材料，完成（1）~（3）題：

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C作射線BE的垂線，垂足分別為點(diǎn)F、G，連接AG．探究線段DF和AG的關(guān)系．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)思考后，交流了自己的想法：

小明：“經(jīng)過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠ABF和∠ACG相等．”小剛：“經(jīng)過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)有兩條線段和AF相等．”

小偉：“通過(guò)構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步推理，可以得到線段DF和AG的關(guān)系．”

……

老師：“若點(diǎn)E不是AC的中點(diǎn)，其他條件不變（如圖2），可以求出的值．”

（1）求證：AF=FG；

（2）探究線段DF和AG的關(guān)系，并證明；

（3）直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥AG交BG于H．證明△ABH≌△ACG（ASA）可得結(jié)論．

（2）結(jié)論：AG=2DF，DF⊥AG．如圖2中，連接AD，DG，作DK⊥BG于K．證明△DFA≌△DFG（SSS），推出∠ADF=∠GDF，可得DF⊥AG，再證明DF=DK，AG=AF，AF=CG=2DK即可解決問(wèn)題．

（3）利用（2）中結(jié)論即可解決問(wèn)題．

（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，交于．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

又∵，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

（2）證明：作．如圖：

∵，，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

（3）由（2）可知：CG=2DK，DF=DK，
∴．